Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.23

Умножим ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.24

Чтобы записать ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26

Умножим ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.27

Упростим ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.29

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ и $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.4.6

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.5.2

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $- x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.15

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.16.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.17.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.17.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.20

Умножим $- 2 x^{2} + 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.2

Умножим $- 2 x^{2} + 4$ на $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.4

Чтобы записать $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.5

Объединим $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7

Перепишем $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.7.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.7.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 (- x^{2} + 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.7.2.1

Умножим ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.7.2.1.1

Перенесем ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.7.2.2

Упростим $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.8.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.8.4

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.1.8.5

Добавим $- 8$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Перепишем $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

Этап 2.21.2.2

Умножим $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Этап 2.21.2.3

Умножим ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 4$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1

Умножим ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1.1

Возведем $- x^{2} + 4$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Этап 2.21.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.21.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x (x^{2} - 6)$ и $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.4

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.5.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.5.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \cdot 1) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Умножим $x^{2} - 6$ на $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.3.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 4$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 4$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.14.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.15.2

Объединим $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.16

По правилу суммы производная $- x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.17

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.19

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.20

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.21

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.21.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 2 (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}) \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.21.3

Объединим $2$ и $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.21.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.21.5

Объединим $x$ и $\frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.22

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.23

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{1 + 1} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.25

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.26

Вынесем множитель $2$ из $x^{2} (6 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.27

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.27.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.27.2

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.27.3

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.27.4

Разделим $x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.28

Вынесем множитель ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.28.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.28.2

Вынесем множитель ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.28.3

Вынесем множитель ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 \cdot x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.28.4

Вынесем множитель ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot x^{2} (x^{2} - 6))$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.29

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.29.1

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.29.2

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.30

Упростим.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Этап 3.31

Перенесем ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

Этап 3.32

Умножим ${(- x^{2} + 4)}^{3}$ на ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

Этап 3.32.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Этап 3.32.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Этап 3.32.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

Этап 3.32.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

Этап 3.32.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}})$

Этап 3.33

Объединим $2$ и $\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.1

Развернем $(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2} - 6) + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.4

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.1.6

Умножим $4$ на $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.2.2

Добавим $6 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 18 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.4.2

Умножим $18$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.4.3

Умножим $2$ на $- 24$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 (x^{2} x^{2})) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2 + 2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.7

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (- 18 x^{2})}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.1.8

Умножим $- 18$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.2

Объединим противоположные члены в $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.34.3.2.1

Добавим $- 6 x^{4}$ и $6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 + 0 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.2.2

Добавим $36 x^{2} - 48$ и $0$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.2.3

Вычтем $36 x^{2}$ из $36 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{0 - 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.3.2.4

Вычтем $48$ из $0$ .

$f''' (x) = \frac{- 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.34.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5}{2}}$

Этап 4.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.8

Объединим ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ и $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перенесем $5$ влево от ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5 \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.9.2

Перенесем ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.9.3

Умножим $- 1$ на $- 48$ .

$f^{4} (x) = 48 (\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Этап 4.10

Объединим $\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ и $48$ .

$f^{4} (x) = \frac{5 \cdot 48}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.11

Умножим $5$ на $48$ .

$f^{4} (x) = \frac{240}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.12

Вынесем множитель $2$ из $240$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.13.2

Сократим общий множитель.

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.13.3

Перепишем это выражение.

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Этап 4.14

По правилу суммы производная $- x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 4.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 4.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 4.17

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 4.18

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + 0)$

Этап 4.19

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Этап 4.19.2

Объединим $- 2$ и $\frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2 \cdot 120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Этап 4.19.3

Умножим $- 2$ на $120$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Этап 4.19.4

Объединим $\frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ и $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.19.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$