Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 4 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{4}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 x^{2} - 4 (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$6 x^{2} - 16 x^{3}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 16 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 16 x^{3} + 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$- 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 48 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 48 x^{2} + 6 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = - 48 x^{2} + 12 x$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 48 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$- 96 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 96 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 96 x + 12 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f''' (x) = - 96 x + 12$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 96 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 4.2.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$- 96 + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 96 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $- 96$ и $0$ .

$f^{4} (x) = - 96$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 96$ .

$- 96$