Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл 1/(x(x^2+1)) по x
Этап 1
Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.
Этап 1.1.2
Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен .
Этап 1.1.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.5
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.5.1.2
Разделим на .
Этап 1.1.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.5.3
Умножим на .
Этап 1.1.5.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.5.4.2
Разделим на .
Этап 1.1.5.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.5.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.6.1
Перенесем .
Этап 1.1.5.6.2
Умножим на .
Этап 1.1.6
Перенесем .
Этап 1.2
Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.2
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.3
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.4
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.
Этап 1.3
Решим систему уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.2
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.3
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.4
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.4.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.5
Решим систему уравнений.
Этап 1.3.6
Перечислим все решения.
Этап 1.4
Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в значениями, найденными для , и .
Этап 1.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.5.2
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.2.1
Перепишем в виде .
Этап 1.5.2.2
Добавим и .
Этап 1.5.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3
Интеграл по имеет вид .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.1.5
Добавим и .
Этап 5.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Умножим на .
Этап 6.2
Перенесем влево от .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Интеграл по имеет вид .
Этап 9
Упростим.
Этап 10
Заменим все вхождения на .