Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sec (t) \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $\sec (t) \tan (t)$ из $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Этап 2.2.2.3

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Этап 2.2.2.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Этап 2.2.2.5

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 7

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 8

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 10

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 12.3

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Этап 13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Этап 13.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 13.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$