Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

Этап 1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Этап 2

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x + x (- x)$

Этап 2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x - x \cdot x$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x - x^{2}$

Этап 2.1.5

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Этап 2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Этап 2.5.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Этап 2.5.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x - \frac{1}{2}$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - \frac{1}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Этап 4

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Этап 4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Этап 5

Перепишем $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Этап 6

Изменим порядок $- u^{2}$ и ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ .

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Этап 8.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\arcsin (2 x - 1) + C$