Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл ( квадратный корень из 1+x^2)/x по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Переставляем члены.
Этап 2.1.2
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.3
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.2.2
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.2.3
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 2.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.5
Переведем в .
Этап 3
Возведем в степень .
Этап 4
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 5
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2
Упростим каждый член.
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
Интеграл по имеет вид .
Этап 8
Применим взаимно обратное тождество к .
Этап 9
Запишем в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.
Этап 10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Применим правило умножения к .
Этап 10.2
Объединим.
Этап 10.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 10.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10.4
Умножим на .
Этап 11
Умножим на .
Этап 12
Вынесем множитель из .
Этап 13
Разделим дроби.
Этап 14
Переведем в .
Этап 15
Переведем в .
Этап 16
Поскольку производная равна , интеграл равен .
Этап 17
Упростим.
Этап 18
Заменим все вхождения на .