Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $3 (\sec (t))$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $3$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.5

Объединим $3$ и $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.6

Объединим $\sec (t)$ и $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Этап 2.2.7

Объединим $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ и $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.8

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.12

Перенесем $3$ влево от $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.13

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Этап 2.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Этап 2.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.14

Сократим общий множитель $\sec (t)$ и $\sec^{3} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Этап 2.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $3 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Этап 2.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Этап 2.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ в виде ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Этап 4.2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Этап 4.3

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Этап 4.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Этап 4.5

Запишем $\cos (t)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Этап 4.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Этап 5

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (t)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Этап 11

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 11.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 12

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 14

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 15

Упростим.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 16.3

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Этап 17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Этап 17.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Этап 17.4

Умножим $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Этап 17.4.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$