Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 2 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.8

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.9

Перепишем $64 \cos^{6} (t)$ в виде ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2 \cos (t)$ из $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.2.5

Переведем $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ в $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Этап 8

Упростим.

$- t + \tan (t) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$