Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $- y^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

Этап 3

Разделим $- y^{2} + 1$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- y^{2} + 0$ .

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 3.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Этап 3.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$