Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{3} x - x^{3}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$\int \frac{x^{3} x + x^{3} \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$\int \frac{x^{3} (x - 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (x - 1)$ .

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2}} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2} \cdot 1} d x$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x^{2} (x (x - 1))}{x^{2} \cdot 1} d x$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x (x - 1)}{1} d x$

Этап 1.2.2.4

Разделим $x (x - 1)$ на $1$ .

$\int x (x - 1) d x$

Этап 2

Умножим $x (x - 1)$ .

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Этап 3.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$