Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

Этап 2

Умножим $(x^{4} + 8) x^{- 3}$ .

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

Этап 3.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

Этап 3.2

Упростим $x^{1}$ .

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 8.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

Этап 8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$