Математический анализ Примеры

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 6}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ в виде $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{5}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Этап 4.2.2

Перенесем $5$ влево от $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Этап 6.2

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Этап 6.3

Переведем $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ в $\csc^{5} (x)$ .

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Этап 6.4

Умножим $5$ на $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Этап 6.5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Этап 6.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$