Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 4

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 6

Упростим.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$