Математический анализ Примеры

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Этап 2

Вынесем $t^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4

Развернем $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.4

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 6

Поскольку $27$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{\frac{8}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Этап 9

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $27$ и $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $27$ на $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$