Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{4} - 6}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 x^{4} - 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{4} - 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (3 x^{4} - 6) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(3 x^{4} - 6) x^{- 2}$ .

$\int 3 x^{4} x^{- 2} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 3

Умножим $x^{4}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 3 (x^{- 2} x^{4}) - 6 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{- 2 + 4} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\int 3 x^{2} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 6 x^{- 2} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{2} d x + \int - 6 x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 x^{- 2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 \int x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 (- x^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$3 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{3} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} x^{3} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{3} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.4

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$x^{3} + 6 x^{- 1} + C$