Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Этап 1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\ln (| \sin (x) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Этап 3.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Этап 3.2.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ приблизительно равно $0.70710678$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 3.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Десятичная форма:

$0.34657359 \dots$