Математический анализ Примеры

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Тогда $d u_{1} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\sec^{4} (u_{1})$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (u_{1})$ в виде $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Этап 6.1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Этап 12.4

Объединим.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Этап 12.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $\tan^{3} (5 x)$ на $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Этап 12.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$