Математический анализ Примеры

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\tan^{4} (x)$ за скобки.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\tan (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Этап 5

Развернем ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ в виде $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.8

Изменим порядок $u^{2}$ и $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.10

Умножим $u^{6}$ на $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.11

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.13

Добавим $2$ и $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.14

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.16

Добавим $2$ и $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Этап 5.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Этап 5.18

Добавим $2$ и $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Этап 5.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Этап 5.20

Добавим $4$ и $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Этап 5.21

Вычтем $u^{8}$ из $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Этап 5.22

Изменим порядок $- 2 u^{8}$ и $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Этап 5.23

Перенесем $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{10}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$