Математический анализ Примеры

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

Этап 1

Разделим $t$ на $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$1$

$t$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t + 1$ .

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 5

Пусть $u = t + 1$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = t + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$t - \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $t + 1$ .

$t - \ln (| t + 1 |) + C$