Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл sin(x)^4cos(x)^2 по x
Этап 1
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 2
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 3
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.4
Умножим на .
Этап 4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 5
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Умножим на .
Этап 5.1.2
Умножим на .
Этап 5.2
Упростим, используя свойство коммутативности.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.2.2
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.3
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.9
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.10
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.11
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.12
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.13
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.14
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3.15
Изменим порядок и .
Этап 5.3.16
Изменим порядок и .
Этап 5.3.17
Перенесем .
Этап 5.3.18
Изменим порядок и .
Этап 5.3.19
Перенесем .
Этап 5.3.20
Перенесем .
Этап 5.3.21
Изменим порядок и .
Этап 5.3.22
Изменим порядок и .
Этап 5.3.23
Перенесем .
Этап 5.3.24
Изменим порядок и .
Этап 5.3.25
Изменим порядок и .
Этап 5.3.26
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.3.27
Перенесем .
Этап 5.3.28
Изменим порядок и .
Этап 5.3.29
Перенесем .
Этап 5.3.30
Перенесем .
Этап 5.3.31
Перенесем .
Этап 5.3.32
Изменим порядок и .
Этап 5.3.33
Изменим порядок и .
Этап 5.3.34
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.3.35
Перенесем .
Этап 5.3.36
Изменим порядок и .
Этап 5.3.37
Изменим порядок и .
Этап 5.3.38
Перенесем .
Этап 5.3.39
Перенесем .
Этап 5.3.40
Изменим порядок и .
Этап 5.3.41
Перенесем .
Этап 5.3.42
Перенесем .
Этап 5.3.43
Перенесем .
Этап 5.3.44
Изменим порядок и .
Этап 5.3.45
Изменим порядок и .
Этап 5.3.46
Перенесем .
Этап 5.3.47
Перенесем .
Этап 5.3.48
Изменим порядок и .
Этап 5.3.49
Изменим порядок и .
Этап 5.3.50
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.3.51
Перенесем .
Этап 5.3.52
Перенесем .
Этап 5.3.53
Изменим порядок и .
Этап 5.3.54
Перенесем .
Этап 5.3.55
Перенесем .
Этап 5.3.56
Перенесем .
Этап 5.3.57
Перенесем .
Этап 5.3.58
Изменим порядок и .
Этап 5.3.59
Изменим порядок и .
Этап 5.3.60
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.3.61
Перенесем .
Этап 5.3.62
Перенесем .
Этап 5.3.63
Умножим на .
Этап 5.3.64
Умножим на .
Этап 5.3.65
Умножим на .
Этап 5.3.66
Умножим на .
Этап 5.3.67
Умножим на .
Этап 5.3.68
Умножим на .
Этап 5.3.69
Умножим на .
Этап 5.3.70
Умножим на .
Этап 5.3.71
Умножим на .
Этап 5.3.72
Умножим на .
Этап 5.3.73
Умножим на .
Этап 5.3.74
Умножим на .
Этап 5.3.75
Умножим на .
Этап 5.3.76
Объединим и .
Этап 5.3.77
Умножим на .
Этап 5.3.78
Умножим на .
Этап 5.3.79
Объединим и .
Этап 5.3.80
Умножим на .
Этап 5.3.81
Объединим и .
Этап 5.3.82
Объединим и .
Этап 5.3.83
Умножим на .
Этап 5.3.84
Умножим на .
Этап 5.3.85
Объединим и .
Этап 5.3.86
Умножим на .
Этап 5.3.87
Объединим и .
Этап 5.3.88
Объединим и .
Этап 5.3.89
Умножим на .
Этап 5.3.90
Объединим и .
Этап 5.3.91
Возведем в степень .
Этап 5.3.92
Возведем в степень .
Этап 5.3.93
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.94
Добавим и .
Этап 5.3.95
Вычтем из .
Этап 5.3.96
Вычтем из .
Этап 5.3.97
Умножим на .
Этап 5.3.98
Умножим на .
Этап 5.3.99
Объединим и .
Этап 5.3.100
Объединим и .
Этап 5.3.101
Умножим на .
Этап 5.3.102
Объединим и .
Этап 5.3.103
Умножим на .
Этап 5.3.104
Умножим на .
Этап 5.3.105
Объединим и .
Этап 5.3.106
Объединим и .
Этап 5.3.107
Умножим на .
Этап 5.3.108
Объединим и .
Этап 5.3.109
Умножим на .
Этап 5.3.110
Объединим и .
Этап 5.3.111
Возведем в степень .
Этап 5.3.112
Возведем в степень .
Этап 5.3.113
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.114
Добавим и .
Этап 5.3.115
Умножим на .
Этап 5.3.116
Умножим на .
Этап 5.3.117
Умножим на .
Этап 5.3.118
Объединим и .
Этап 5.3.119
Умножим на .
Этап 5.3.120
Умножим на .
Этап 5.3.121
Объединим и .
Этап 5.3.122
Возведем в степень .
Этап 5.3.123
Возведем в степень .
Этап 5.3.124
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.125
Добавим и .
Этап 5.3.126
Умножим на .
Этап 5.3.127
Умножим на .
Этап 5.3.128
Умножим на .
Этап 5.3.129
Умножим на .
Этап 5.3.130
Объединим и .
Этап 5.3.131
Умножим на .
Этап 5.3.132
Умножим на .
Этап 5.3.133
Объединим и .
Этап 5.3.134
Возведем в степень .
Этап 5.3.135
Возведем в степень .
Этап 5.3.136
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.137
Добавим и .
Этап 5.3.138
Умножим на .
Этап 5.3.139
Умножим на .
Этап 5.3.140
Объединим и .
Этап 5.3.141
Возведем в степень .
Этап 5.3.142
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.143
Добавим и .
Этап 5.3.144
Добавим и .
Этап 5.3.145
Добавим и .
Этап 5.3.146
Изменим порядок и .
Этап 5.3.147
Изменим порядок и .
Этап 5.3.148
Перенесем .
Этап 5.3.149
Изменим порядок и .
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Вынесем за скобки.
Этап 9
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Производная по равна .
Этап 10.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 11
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 12
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 13
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 15
Объединим и .
Этап 16
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 17
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 18
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 19
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 20
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.1
Умножим на .
Этап 20.2
Умножим на .
Этап 21
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 22
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 23
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1.1
Дифференцируем .
Этап 23.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 23.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 23.1.4
Умножим на .
Этап 23.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 24
Объединим и .
Этап 25
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 26
Интеграл по имеет вид .
Этап 27
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 28
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 29
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 30
Интеграл по имеет вид .
Этап 31
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 31.1
Упростим.
Этап 31.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 31.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 31.2.2
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 31.2.2.1
Умножим на .
Этап 31.2.2.2
Умножим на .
Этап 31.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 31.2.4
Перенесем влево от .
Этап 31.2.5
Добавим и .
Этап 32
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.1
Заменим все вхождения на .
Этап 32.2
Заменим все вхождения на .
Этап 32.3
Заменим все вхождения на .
Этап 32.4
Заменим все вхождения на .
Этап 33
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 33.1
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 33.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 33.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 33.1.3
Сократим общий множитель.
Этап 33.1.4
Перепишем это выражение.
Этап 33.2
Умножим на .
Этап 33.3
Объединим и .
Этап 34
Изменим порядок членов.