Математический анализ Примеры

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 3 x + 9$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 3 x + 9$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $e^{\sqrt{u_{1}}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , следовательно $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u_{2}$ и $dv = e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 8

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

Этап 9

Упростим.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x + 9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Этап 11.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Этап 11.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

Этап 11.3.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.2

Умножим $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Объединим $\sqrt{3 (x + 3)}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.2.2

Объединим $\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ и $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3 (x + 3)}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Этап 11.4.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Этап 11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Этап 11.6

Вынесем множитель $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ из $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Вынесем множитель $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ из $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Этап 11.6.2

Вынесем множитель $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ из $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

Этап 11.6.3

Вынесем множитель $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ из $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$