Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \ln (u) d u$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \ln (u)$ и $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $u$ и $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (u) u - \int d u$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (u) u - (u + C)$

Этап 5

Упростим.

$\ln (u) u - u + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$