Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ и $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $2 π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Этап 5.3.3

Умножим $π$ на $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Этап 5.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Этап 5.3.6

Добавим $0$ и $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Этап 5.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Этап 5.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Этап 5.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Этап 6.2

Добавим $- 2 π$ и $0$ .

$- 2 π - 1$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 π - 1$

Десятичная форма:

$- 7.28318530 \dots$