Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Этап 2.5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- 3 (\frac{u^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $1$ и в $\frac{1}{2}$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

Этап 7.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{3}}{3}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3}$

Этап 8.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{2^{3}}}{3}$

Этап 8.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{8}}{3}$

Этап 8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{3}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \frac{\frac{8 - 1}{8}}{3}$

Этап 8.5

Вычтем $1$ из $8$ .

$- 3 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Этап 8.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7}{8}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{7}{8}$

Десятичная форма:

$- 0.875$