Математический анализ Примеры

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = - 3 x$ . Тогда $d u_{1} = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Этап 2.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Этап 2.3

Объединим $\sec (e^{u_{1}})$ и $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Этап 2.4

Объединим $\tan (e^{u_{1}})$ и $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 5

Пусть $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Тогда $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6

Поскольку производная $\sec (u_{2})$ равна $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , интеграл $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ равен $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Этап 7

Упростим.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Этап 8

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Этап 8.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$