Математический анализ Примеры

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{4 x}$ и $\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (5 x)$ и $d v = e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4} \cdot 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4} \cdot 5$ из-под знака интеграла.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Этап 4.2

Объединим $\sin (5 x)$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{4 x}$ и $\cos (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (5 x)$ и $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4} \cdot - 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4} \cdot - 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Этап 7.2

Объединим $\cos (5 x)$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Этап 7.5

Умножим $\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Этап 7.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Этап 7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Этап 7.6.3

Умножим $\frac{5}{4}$ на $1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Этап 7.7

Умножим $\frac{- 5}{4}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Этап 7.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Этап 7.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ , получим $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Этап 9.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{41}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.2

Перепишем $(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ в виде $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ .

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{\sin (5 x)}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.3.3

Объединим $\cos (5 x)$ и $\frac{5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.3.4

Объединим $e^{4 x}$ и $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.3.5

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Перепишем.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.4.2.2

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.4.2.3

Избавимся от ненужных скобок.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Этап 9.4.3

Перенесем $5$ влево от $e^{4 x}$ .

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$