Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^3cos(3x) по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Объединим и .
Этап 4.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3
Умножим на .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 6.3
Объединим и .
Этап 6.4
Умножим на .
Этап 6.5
Объединим и .
Этап 6.6
Объединим и .
Этап 6.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Умножим на .
Этап 8.2
Умножим на .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Объединим и .
Этап 11.2
Объединим и .
Этап 11.3
Объединим и .
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1.1
Дифференцируем .
Этап 13.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 13.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 13.1.4
Умножим на .
Этап 13.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 14
Объединим и .
Этап 15
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 16
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Умножим на .
Этап 16.2
Умножим на .
Этап 17
Интеграл по имеет вид .
Этап 18
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Перепишем в виде .
Этап 18.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 18.2.2
Объединим и .
Этап 18.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 18.2.4
Умножим на .
Этап 19
Заменим все вхождения на .
Этап 20
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 20.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.2.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 20.2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.3
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.1.4
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.2
Умножим на .
Этап 20.2.3
Умножим на .
Этап 20.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.4.3
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.4.4
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.2.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.5.3
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.5.4
Перепишем это выражение.
Этап 20.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 20.4
Объединим и .
Этап 20.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 20.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.6.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.6.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.6.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 20.6.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 20.6.2
Перенесем влево от .
Этап 20.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 20.8
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.8.1
Умножим на .
Этап 20.8.2
Умножим на .
Этап 20.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 20.10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.10.1
Умножим на .
Этап 20.10.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 20.10.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 20.10.4
Перенесем влево от .
Этап 20.11
Вынесем множитель из .
Этап 20.12
Вынесем множитель из .
Этап 20.13
Вынесем множитель из .
Этап 20.14
Вынесем множитель из .
Этап 20.15
Вынесем множитель из .
Этап 20.16
Перепишем в виде .
Этап 20.17
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 20.18
Изменим порядок множителей в .
Этап 21
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 21.1.2
Объединим и .
Этап 21.1.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 21.1.4
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1.4.1
Перенесем влево от .
Этап 21.1.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 21.1.4.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1.4.3.1
Умножим на .
Этап 21.1.4.3.2
Умножим на .
Этап 21.1.4.3.3
Умножим на .
Этап 21.1.4.4
Упростим каждый член.
Этап 21.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 21.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.3.1
Умножим на .
Этап 21.3.2
Умножим на .
Этап 21.4
Изменим порядок членов.