Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

Этап 1

Пусть $u = 7 x^{2} + 3$ . Тогда $d u = 14 x d x$ , следовательно $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 7 x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $14 x$ и $0$ .

$14 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u^{5}}$ на $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

Этап 2.2

Перенесем $14$ влево от $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{14}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{14}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

Этап 4.1.2

Объединим $x$ и $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем $u^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 5}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $u^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Этап 6.1.2

Перенесем $u^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ в виде $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{14}$ и $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{x}{14}$ и $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Этап 6.3.3

Умножим $\frac{x d}{14}$ на $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

Этап 6.3.4

Умножим $4$ на $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$