Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.
Этап 1.1.1
Разложим дробь на множители.
Этап 1.1.1.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Этап 1.1.1.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.1.1.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 1.1.2
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.3
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.4
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.5
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.6
Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен .
Этап 1.1.7
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.7.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.7.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.8
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.8.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.8.2
Разделим на .
Этап 1.1.9
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.9.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.9.1.2
Разделим на .
Этап 1.1.9.2
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.3
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.9.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.4
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.9.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.4.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.4.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.4.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.9.4.2
Добавим и .
Этап 1.1.9.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.6
Упростим.
Этап 1.1.9.6.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.9.6.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.7
Сократим общий множитель и .
Этап 1.1.9.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.9.7.2
Сократим общие множители.
Этап 1.1.9.7.2.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.7.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.9.7.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.9.7.2.4
Разделим на .
Этап 1.1.9.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.9
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.10
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.11
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.12
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.9.12.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.12.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.12.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.13
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.9.13.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.13.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.13.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.13.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.9.13.2
Добавим и .
Этап 1.1.9.14
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 1.1.9.15
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.15.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.9.15.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.9.15.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.15.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.9.15.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.9.15.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.9.15.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.9.15.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.9.15.3.1
Перенесем .
Этап 1.1.9.15.3.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.15.4
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.15.5
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.9.15.6
Умножим на .
Этап 1.1.9.15.7
Умножим на .
Этап 1.1.9.16
Вычтем из .
Этап 1.1.9.17
Вычтем из .
Этап 1.1.9.18
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.9.18.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.9.18.2
Разделим на .
Этап 1.1.9.19
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.20
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.9.20.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.20.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.20.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.21
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.9.21.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.21.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.21.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.21.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.21.1.4
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.21.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.9.21.2
Вычтем из .
Этап 1.1.9.22
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.23
Упростим.
Этап 1.1.9.23.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.9.23.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.24
Сократим общий множитель и .
Этап 1.1.9.24.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.9.24.2
Сократим общие множители.
Этап 1.1.9.24.2.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.24.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.9.24.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.9.24.2.4
Разделим на .
Этап 1.1.9.25
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.26
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.9.26.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.26.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.26.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.27
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.9.27.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.27.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.9.27.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.27.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.27.1.4
Перепишем в виде .
Этап 1.1.9.27.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.9.27.2
Вычтем из .
Этап 1.1.9.28
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.9.29
Упростим.
Этап 1.1.9.29.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.9.29.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.30
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 1.1.9.31
Упростим каждый член.
Этап 1.1.9.31.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.9.31.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.9.31.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.31.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.9.31.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.9.31.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.9.31.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.31.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.9.31.3.1
Перенесем .
Этап 1.1.9.31.3.2
Умножим на .
Этап 1.1.9.31.4
Умножим на .
Этап 1.1.9.31.5
Перенесем влево от .
Этап 1.1.9.32
Вычтем из .
Этап 1.1.9.33
Умножим на .
Этап 1.1.9.34
Добавим и .
Этап 1.1.10
Упростим выражение.
Этап 1.1.10.1
Перенесем .
Этап 1.1.10.2
Изменим порядок и .
Этап 1.1.10.3
Перенесем .
Этап 1.1.10.4
Перенесем .
Этап 1.1.10.5
Перенесем .
Этап 1.1.10.6
Перенесем .
Этап 1.1.10.7
Перенесем .
Этап 1.1.10.8
Перенесем .
Этап 1.1.10.9
Перенесем .
Этап 1.1.10.10
Перенесем .
Этап 1.1.10.11
Перенесем .
Этап 1.1.10.12
Перенесем .
Этап 1.1.10.13
Перенесем .
Этап 1.2
Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.
Этап 1.2.1
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.2
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.3
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.4
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.5
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.
Этап 1.3
Решим систему уравнений.
Этап 1.3.1
Решим относительно в .
Этап 1.3.1.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.2
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.2.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.2.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.2.2.1
Упростим .
Этап 1.3.2.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.2.3
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.2.4
Упростим правую часть.
Этап 1.3.2.4.1
Упростим .
Этап 1.3.2.4.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.2.4.1.2
Вычтем из .
Этап 1.3.2.5
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.2.6
Упростим правую часть.
Этап 1.3.2.6.1
Упростим .
Этап 1.3.2.6.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.2.6.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.3
Решим относительно в .
Этап 1.3.3.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.3.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Этап 1.3.3.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.3.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.4
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.4.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.4.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.4.2.1
Упростим .
Этап 1.3.4.2.1.1
Упростим каждый член.
Этап 1.3.4.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.3.4.2.1.1.2
Упростим.
Этап 1.3.4.2.1.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.3.4.2.1.1.2.2
Умножим на .
Этап 1.3.4.2.1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.3.4.2.1.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 1.3.4.2.1.2.1
Добавим и .
Этап 1.3.4.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.3.4.3
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.4.4
Упростим .
Этап 1.3.4.4.1
Упростим левую часть.
Этап 1.3.4.4.1.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.4.4.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.4.4.2.1
Упростим .
Этап 1.3.4.4.2.1.1
Вычтем из .
Этап 1.3.4.4.2.1.2
Вычтем из .
Этап 1.3.5
Решим относительно в .
Этап 1.3.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.5.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Этап 1.3.5.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.5.2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.3.5.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 1.3.5.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.3.5.3.2
Упростим левую часть.
Этап 1.3.5.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.3.5.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.5.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.3.5.3.3
Упростим правую часть.
Этап 1.3.5.3.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.3.5.3.3.1.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.3.5.3.3.1.2
Сократим общий множитель и .
Этап 1.3.5.3.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.3.5.3.3.1.2.2
Вынесем знак минуса из знаменателя .
Этап 1.3.5.3.3.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.3.5.3.3.1.4
Умножим на .
Этап 1.3.6
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.6.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.6.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.6.2.1
Упростим .
Этап 1.3.6.2.1.1
Упростим каждый член.
Этап 1.3.6.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.3.6.2.1.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 1.3.6.2.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.3.6.2.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.6.2.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.6.2.1.1.3
Умножим на .
Этап 1.3.6.2.1.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 1.3.6.2.1.2.1
Вычтем из .
Этап 1.3.6.2.1.2.2
Добавим и .
Этап 1.3.6.3
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.6.4
Упростим правую часть.
Этап 1.3.6.4.1
Упростим .
Этап 1.3.6.4.1.1
Упростим каждый член.
Этап 1.3.6.4.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.3.6.4.1.1.2
Объединим и .
Этап 1.3.6.4.1.1.3
Умножим на .
Этап 1.3.6.4.1.1.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.6.4.1.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 1.3.6.4.1.2.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 1.3.6.4.1.2.2
Упростим выражение.
Этап 1.3.6.4.1.2.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.6.4.1.2.2.2
Вычтем из .
Этап 1.3.6.4.1.2.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.6.4.1.2.3
Вычтем из .
Этап 1.3.7
Решим относительно в .
Этап 1.3.7.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.7.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Этап 1.3.7.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.7.2.2
Вычтем из .
Этап 1.3.7.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 1.3.7.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.3.7.3.2
Упростим левую часть.
Этап 1.3.7.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.3.7.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.7.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.3.7.3.3
Упростим правую часть.
Этап 1.3.7.3.3.1
Разделим на .
Этап 1.3.8
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.8.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.8.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.8.2.1
Упростим .
Этап 1.3.8.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.8.2.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.8.3
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.8.4
Упростим правую часть.
Этап 1.3.8.4.1
Упростим .
Этап 1.3.8.4.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.8.4.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.8.5
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.8.6
Упростим правую часть.
Этап 1.3.8.6.1
Умножим на .
Этап 1.3.9
Перечислим все решения.
Этап 1.4
Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в значениями, найденными для , , и .
Этап 1.5
Упростим.
Этап 1.5.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.2
Объединим.
Этап 1.5.3
Умножим на .
Этап 1.5.4
Разделим на .
Этап 1.5.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.6
Умножим на .
Этап 1.5.7
Перенесем влево от .
Этап 1.5.8
Разделим на .
Этап 1.5.9
Удалим ноль из выражения.
Этап 2
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.5
Добавим и .
Этап 4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 5
Этап 5.1
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 5.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 5.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.2.2
Умножим на .
Этап 6
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 7
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Этап 9.1
Пусть . Найдем .
Этап 9.1.1
Дифференцируем .
Этап 9.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 9.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 9.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 9.1.5
Добавим и .
Этап 9.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 10
Этап 10.1
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 10.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 10.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 10.2.2
Умножим на .
Этап 11
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 12
Этап 12.1
Упростим.
Этап 12.2
Упростим.
Этап 12.2.1
Умножим на .
Этап 12.2.2
Умножим на .
Этап 12.2.3
Умножим на .
Этап 12.2.4
Объединим и .
Этап 12.2.5
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 13
Этап 13.1
Заменим все вхождения на .
Этап 13.2
Заменим все вхождения на .