Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Этап 1

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Этап 2

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{0}^{1}$

Этап 3

Найдем значение $- \cos (u)$ в $1$ и в $0$ .

$- \cos (1) + \cos (0)$

Этап 4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \cos (1) + 1$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$- 1 \cdot 0.5403023 + 1$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $0.5403023$ .

$- 0.5403023 + 1$

Этап 5.3

Добавим $- 0.5403023$ и $1$ .

$0.45969769$