Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 1.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 3

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Этап 3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Этап 3.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Этап 4

Умножим $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $u^{5}$ на $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Этап 5.2

Умножим $u^{5}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Этап 5.2.2

Добавим $5$ и $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ в $\sqrt{3}$ и в $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{6}$ в виде $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.4

Сократим общий множитель $27$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{8}$ в виде $3^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.5.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.7

Объединим $\frac{1}{8}$ и $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.8

Чтобы записать $\frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.11.1

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.11.2

Добавим $36$ и $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.13

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Этап 10.2.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Этап 10.2.15

Умножим $\frac{1}{8}$ на $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Этап 10.2.16

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Этап 10.2.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Этап 10.2.18

Добавим $\frac{117}{8}$ и $0$ .

$\frac{117}{8}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{117}{8}$

Десятичная форма:

$14.625$

Форма смешанных чисел:

$14 \frac{5}{8}$