Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл sin(9x)^5 в пределах от 0 до pi/18 по x
Этап 1
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Дифференцируем .
Этап 1.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.4
Умножим на .
Этап 1.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 1.3
Умножим на .
Этап 1.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 1.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 1.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Вынесем за скобки.
Этап 5
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 6
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 7
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Дифференцируем .
Этап 7.1.2
Производная по равна .
Этап 7.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 7.3
Точное значение : .
Этап 7.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 7.5
Точное значение : .
Этап 7.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 7.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Перепишем в виде .
Этап 9.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.5
Перенесем .
Этап 9.6
Перенесем .
Этап 9.7
Умножим на .
Этап 9.8
Умножим на .
Этап 9.9
Умножим на .
Этап 9.10
Умножим на .
Этап 9.11
Умножим на .
Этап 9.12
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.13
Добавим и .
Этап 9.14
Вычтем из .
Этап 9.15
Изменим порядок и .
Этап 9.16
Перенесем .
Этап 10
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 11
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 12
Объединим и .
Этап 13
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 15
Объединим и .
Этап 16
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 17
Объединим и .
Этап 18
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Найдем значение в и в .
Этап 18.2
Найдем значение в и в .
Этап 18.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 18.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.3.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 18.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 18.3.2.2.4
Разделим на .
Этап 18.3.3
Добавим и .
Этап 18.3.4
Единица в любой степени равна единице.
Этап 18.3.5
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 18.3.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 18.3.7
Добавим и .
Этап 18.3.8
Вычтем из .
Этап 18.3.9
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 18.3.10
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.3.10.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.3.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 18.3.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 18.3.10.2.4
Разделим на .
Этап 18.3.11
Единица в любой степени равна единице.
Этап 18.3.12
Вычтем из .
Этап 18.3.13
Умножим на .
Этап 18.3.14
Объединим и .
Этап 18.3.15
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 18.3.16
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 18.3.17
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.17.1
Умножим на .
Этап 18.3.17.2
Умножим на .
Этап 18.3.17.3
Умножим на .
Этап 18.3.17.4
Умножим на .
Этап 18.3.18
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 18.3.19
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.19.1
Умножим на .
Этап 18.3.19.2
Умножим на .
Этап 18.3.19.3
Добавим и .
Этап 18.3.20
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 18.3.21
Умножим на .
Этап 18.3.22
Умножим на .
Этап 18.3.23
Умножим на .
Этап 18.3.24
Умножим на .
Этап 19
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: