Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) d x$

Этап 1

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $x$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Этап 9.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Этап 9.3

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Этап 10.3

Добавим $\sin (π)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Этап 11.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Этап 11.3

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{4}$

Десятичная форма:

$0.78539816 \dots$