Математический анализ Примеры

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Тогда $d u_{1} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Этап 3

Объединим $\cos^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 11

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 11.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 12

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 14

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Этап 15

Упростим.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Этап 16.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

Этап 17.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

Этап 17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Этап 17.5

Умножим $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $\frac{3}{10}$ на $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

Этап 17.5.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$