Математический анализ Примеры

$\int_{25}^{36} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ в виде произведения.

$\int_{25}^{36} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (y)$ и $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Этап 3.2

Объединим $y^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Этап 3.4

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Этап 3.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 3.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Этап 3.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - \int_{25}^{36} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - (2 \int_{25}^{36} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 5.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 \int_{25}^{36} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{36} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ в $36$ и в $25$ .

$(\ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

Этап 7.2

Найдем значение $2 y^{\frac{1}{2}}$ в $36$ и в $25$ .

$(\ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.4

Найдем экспоненту.

$\ln (36) (2 \cdot 6) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $6$ .

$\ln (36) \cdot 12 - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.6

Перенесем $12$ влево от $\ln (36)$ .

$12 \cdot \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.7

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Сократим общий множитель.

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.9.2

Перепишем это выражение.

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.10

Найдем экспоненту.

$12 \ln (36) - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.11

Умножим $2$ на $5$ .

$12 \ln (36) - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.12

Умножим $10$ на $- 1$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.13

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.15.1

Сократим общий множитель.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.15.2

Перепишем это выражение.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.16

Найдем экспоненту.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 6 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.17

Умножим $2$ на $6$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.18

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.3.19

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 7.3.20

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.20.1

Сократим общий множитель.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 7.3.20.2

Перепишем это выражение.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5^{1})$

Этап 7.3.21

Найдем экспоненту.

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 2 \cdot 5)$

Этап 7.3.22

Умножим $- 2$ на $5$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 (12 - 10)$

Этап 7.3.23

Вычтем $10$ из $12$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 2 \cdot 2$

Этап 7.3.24

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (25) - 4$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\ln (25)$ в виде $\ln (5^{2})$ .

$12 \ln (36) - 10 \ln (5^{2}) - 4$

Этап 8.2

Развернем $\ln (5^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$12 \ln (36) - 10 (2 \ln (5)) - 4$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$12 \ln (36) - 20 \ln (5) - 4$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$12 \ln (36) - 20 \ln (5) - 4$

Десятичная форма:

$6.81346901 \dots$