Математический анализ Примеры

$\int 6 x^{5} \sin (x^{6}) d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x^{5} \sin (x^{6}) d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{6}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{3}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ и $\sin ({u_{1}}^{3})$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3})}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Тогда $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 7

Объединим $\sin (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 9.3

Умножим $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ на $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{3}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{3}) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- \cos ({(x^{2})}^{3}) + C$