Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5}{x - 3} d x$

Этап 1

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 5$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$5$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x^{2} + \frac{5}{x - 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{x - 3} d x$

Этап 5

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| x - 3 |) + C$