Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.8.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{5}{3}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Этап 2.11.2

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Этап 2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{2}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ по $x$ равна $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{8}{3}}$ и $\frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{2}{9}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{2}{9}$ на $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

Этап 3.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

Этап 3.12.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

Этап 3.12.3

Перенесем $x^{- \frac{8}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{10}{27}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим $\frac{8}{3}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $3$ из $- 8$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{11}{3}}$ и $\frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{10}{27}$ на $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

Этап 4.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $8$ на $10$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

Этап 4.11.2

Умножим $27$ на $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

Этап 4.11.3

Перенесем $x^{- \frac{11}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$