Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма 1+x по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Объединим и .
Этап 3
Разделим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
++
Этап 3.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
++
Этап 3.3
Умножим новое частное на делитель.
++
++
Этап 3.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
++
--
Этап 3.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
++
--
-
Этап 3.6
Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.
Этап 4
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 5
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
Пусть . Тогда . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Дифференцируем .
Этап 7.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 7.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 7.1.5
Добавим и .
Этап 7.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 8
Интеграл по имеет вид .
Этап 9
Упростим.
Этап 10
Заменим все вхождения на .