Математический анализ Примеры

$\int \arccos (2 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arccos (2 x)$ и $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 4.2

Умножим $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ на $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 6

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Тогда $d u = - 8 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 6.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$0 - 8 x$

Этап 6.1.4

Вычтем $8 x$ из $0$ .

$- 8 x$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Этап 7.3

Перенесем $8$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 11.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 11.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 11.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 11.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$