Математический анализ Примеры

\int cos (2 t) d t

$\int \cos (2 t) d t$

Этап 1

Пусть

u = 2 t

$u = 2 t$ . Тогда

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , следовательно

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = 2 t

$u = 2 t$ . Найдем

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 1.1.2

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

t

$t$ , производная

2 t

$2 t$ по

t

$t$ равна

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим

cos (u)

$\cos (u)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int \frac{cos (u)}{2} d u

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} \int cos (u) d u

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл

cos (u)

$\cos (u)$ по

u

$u$ имеет вид

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (sin (u) + C)

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

\frac{1}{2} sin (u) + C

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

u

$u$ на

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{2} sin (2 t) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

$\int_{}^{} \cos (2 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$