Математический анализ Примеры

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 3 y$ . Тогда $d u_{1} = 3 d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 3 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Этап 3

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Этап 5

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 5 y$ . Тогда $d u_{2} = 5 d y$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 5 y$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Этап 6.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 7

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 10

Упростим.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$