Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$(\sin (\frac{π}{4})) - \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Этап 5.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Этап 5.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Этап 5.2.6

Добавим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Этап 5.2.7

Чтобы записать $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.8

Объединим $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$\frac{\sqrt{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} - - \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.4

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 5.3.6

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Этап 5.3.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Этап 5.3.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Этап 5.3.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Этап 5.3.7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Этап 5.3.7.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2} - 1$

Десятичная форма:

$0.41421356 \dots$