Математический анализ Примеры

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sec (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

Этап 1

Интеграл

sec (x)

$\sec (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

ln (| sec (x) + tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ в

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ и в

0

$0$ .

ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) + tan (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение

sec (\frac{π}{4})

$\sec (\frac{π}{4})$ :

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + tan (\frac{π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2.2

Точное значение

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ :

1

$1$ .

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2.3

Точное значение

sec (0)

$\sec (0)$ :

1

$1$ .

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Этап 2.2.4

Точное значение

tan (0)

$\tan (0)$ :

0

$0$ .

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 + 0 |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Этап 2.2.5

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 2.2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Умножим

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.2

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.3

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.3

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.3.2

Разделим

$\sqrt{2}$ на

$1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ приблизительно равно

$2.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Этап 2.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Этап 2.3.3

Разделим

$\sqrt{2} + 1$ на

$1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Десятичная форма:

$0.88137358 \dots$