Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 8 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 8 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $8 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ и $0$ .

$u_{lower} = 8$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Этап 2.5.1.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = 8 + 19$

Этап 2.5.2

Добавим $8$ и $19$ .

$u_{upper} = 27$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ в $27$ и в $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.6

Умножим $3$ на $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 7.2.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 7.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Этап 7.2.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Этап 7.2.11

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Этап 7.2.12

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Этап 7.2.13

Умножим $- 16$ на $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Этап 7.2.14

Сократим общий множитель $- 48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.1

Вынесем множитель $4$ из $- 48$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Этап 7.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Этап 7.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Этап 7.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Этап 7.2.14.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Этап 7.2.15

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 7.2.16

Объединим $- 12$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Этап 7.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.18.1

Умножим $- 12$ на $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Этап 7.2.18.2

Вычтем $48$ из $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Этап 7.2.19

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.20

Умножим $7$ на $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.21

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1365}{8}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1365}{8}$

Десятичная форма:

$170.625$

Форма смешанных чисел:

$170 \frac{5}{8}$

Этап 9