Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} e^{x} - x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$e^{1} - e^{0} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим.

$e - e^{0} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 \cdot 1 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 5.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 5.2.3.8

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$e - 1 - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e + \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.12.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$e + \frac{- 3}{2}$

Этап 5.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e - \frac{3}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.21828182 \dots$

Этап 7