Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ в виде $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Этап 1.1.2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.1.2.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Этап 1.1.2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Этап 1.1.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Этап 1.3.4

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Этап 1.3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Этап 1.5.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Этап 1.5.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Этап 1.5.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.5.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $0$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 3.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$

Этап 5