Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 11 \sqrt[11]{x} d x$

Этап 1

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$11 \int_{0}^{1} \sqrt[11]{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{11}}$ .

$11 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{11}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{11}}$ по $x$ имеет вид $\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}}$ .

$11 (\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}}]_{0}^{1})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{11}{12}$ и $x^{\frac{12}{11}}$ .

$11 (\frac{11 x^{\frac{12}{11}}}{12}]_{0}^{1})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{11 x^{\frac{12}{11}}}{12}$ в $1$ и в $0$ .

$11 ((\frac{11 \cdot 1^{\frac{12}{11}}}{12}) - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$11 (\frac{11 \cdot 1}{12} - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $11$ на $1$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{\frac{12}{11}}}{12})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{11}$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot {(0^{11})}^{\frac{12}{11}}}{12})$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{11 (\frac{12}{11})}}{12})$

Этап 4.2.2.5

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{11 (\frac{12}{11})}}{12})$

Этап 4.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0^{12}}{12})$

Этап 4.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{11 \cdot 0}{12})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $11$ на $0$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{0}{12})$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Вынесем множитель $12$ из $0$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 (0)}{12})$

Этап 4.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$11 (\frac{11}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$11 (\frac{11}{12} - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$11 (\frac{11}{12} - 0)$

Этап 4.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$11 (\frac{11}{12} + 0)$

Этап 4.2.2.10

Добавим $\frac{11}{12}$ и $0$ .

$11 (\frac{11}{12})$

Этап 4.2.2.11

Объединим $11$ и $\frac{11}{12}$ .

$\frac{11 \cdot 11}{12}$

Этап 4.2.2.12

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{121}{12}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{121}{12}$

Десятичная форма:

$10.08\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{1}{12}$

Этап 6