Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

Этап 1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{5 x}$ .

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

Этап 5

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Этап 5.5

Умножим $5$ на $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Этап 8.2

Умножим $5$ на $5$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

Этап 10

Объединим $e^{u}]_{0}^{5}$ и $\frac{1}{25}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x e^{5 x}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $5$ и в $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.2

Умножим $e^{5}$ на $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.3

Умножим $5$ на $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.5

Умножим $0$ на $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.8

Добавим $\frac{e^{5}}{5}$ и $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Этап 11.3.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

Этап 11.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Этап 11.3.11

Чтобы записать $\frac{e^{5}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Этап 11.3.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Умножим $\frac{e^{5}}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Этап 11.3.12.2

Умножим $5$ на $5$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Этап 11.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

Этап 11.3.14

Перенесем $5$ влево от $e^{5}$ .

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

Этап 11.3.15

Объединим $7$ и $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

Этап 12.3

Вычтем $e^{5}$ из $5 e^{5}$ .

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Десятичная форма:

$166.50273819 \dots$

Этап 14