Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x^{2} + 1)$ и $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 9.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\ln (x^{2} + 1) x$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Этап 11.2

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Этап 11.3

Найдем значение $\arctan (x)$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.3

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.7

Умножим $0$ на $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.8

Добавим $\ln (2)$ и $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 11.4.9

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Этап 12.1.1.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Этап 12.1.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Этап 12.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Этап 12.4.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Этап 12.4.4

Сократим общий множитель.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Этап 12.4.5

Перепишем это выражение.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Этап 12.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Этап 12.5.2

Умножим $- - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Этап 12.5.2.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$0.26394350 \dots$